Matematika iránt akár még csak felszínesen is érdeklődni, sőt: pusztán a matematika érettségi követelményeiben szereplő ismeretekkel még 30 fölött is magabiztosan rendelkezni olyan bélyeg, amelyhez képest balkezes, homoszexuális zsidónőként élni 1483-ban Cordóbában felszabadító életérzés lehetett. Pláne ha logaritmus.
Szakmámból adódóan volt szerencsém nagyszámú élménnyel gazdagodni a szórakozóhelyek zajszintmérésének témakörében. Magabiztosan állíthatom, hogy az egybenyakú, klubtulajdonos ogrék világában előbb juthatsz dűlőre a rémakiemelő partikulák köznyelvi alkalmazásának indokoltságáról folytatott vitában, mint annak megértetésében, hogy ha 70 dB (decibel) helyett 75 dB a zajszint, az nem analóg a köcsögmerci 10%-on belüli sebességtúllépésének esetével. A decibel-skála ugyanis egy nemlineáris, azon belül is logaritmikus skála.
Oszt akkor mi a tosz van? Mondom, és nem leszek bonyolult.
Először is, a logaritmikus skálák szokatlanok, mert ritkák: az átlagpolgár nagyjából három ilyet ismerhet, de valószínűleg egyikről sem tudja, hogy ebbe a csoportba tartozik. A zajszintre vonatkozó decibel-skála mellett logaritmikus léptékű a savasság-lúgosság jellemzésére szolgáló pH-skála, valamint a földrengések erősségnek meghatározásához kidolgozott Richter-skála is. Mivel ez utóbbi a legtisztábban megjelenő logaritmikus skála, ezt is felhasználom a példákban.
A hagyományos (lineáris) skálák már csak olyanok, hogy az értékek (számok) közötti összefüggések, arányok többnyire megfelelnek a számok közti arányoknak. Így például a mérlegen 75 kilogrammot nyomó test tömege éppen fele annyi, mint a mérlegen kétszer ekkora számmal megjelenő, 150 kg-os egyednek. A 220 Volt feszültség kétszer akkora, mint a 110 Volt feszültség, és a 80 km/h sebességet 10%-kal meghaladó sebesség bizony pont 88 km/h. Mondhatnánk, hogy ez a normális. Mondhatnám, hogy többnyire. A zajszinteknél azonban, ha ilyen skálát akarnánk bevezetni, elég komoly problémába ütköznénk. A fülünk igencsak érzékeny jószág. nem belebonyolódva a különböző frekvenciákon eltérő érzékenység témakörébe, egyszerűen csak mondjuk ki, hogy az éppen még meghallható zaj szintje (ezt szokták a lehulló falevél neszének nevezni) a hanghullám (lökéshullám) teljesítményével jellemezhető (lehetne mással is, de nem bonyolítjuk), és az értéke 10-12 W, azaz ezermilliárdod Watt. Az a zajszint, ami beszakítja a dobhártyánkat, valahol az 1000-10.000 W környékén mozog. Hogy megértsük, ez miért okoz gondot a lineáris skálának, gondoljunk a hőmérőkre. A hagyományos szobai hőmérő -25 és +40 fok között képes 1 fok pontossággal mérni a hőmérsékletet. A lázmérő 0,1 fok pontosságú, de a mérési tartománya a 35 és a 42 fok közé esik. Általában is igaz, hogy egy lineárisan skálázott mérőműszer (tágabb értelemben: mértékegység-skála) minél nagyobb tartományban mér, annál kisebb a pontossága, és fordítva. A zajszintek mérésénél egyszerre kell nagy tartományt átfogni (emlékezzünk: 10.000 W a felső határ), miközben nagyon finom különbségeket is tudnunk kell mérni (emlékezzünk: ezermilliárdod W különbséget a fülünk már érzékel).
Tehát a probléma adott.
A válasz pedig a nemlineáris skálákban rejlik. Anélkül, hogy a logaritmus mint matematikai művelet mélységeibe belemennénk, elégedjünk meg annyival, hogy a logaritmus a hatványozás megfordítása (mint a gyökvonás), és semmi másra nem keresi a választ, mint hogy egy adott szám egy másik számnak hányadik hatványa. Azaz a 100 tízes alapú logaritmusa AZÉRT kettő, mert 10-nek a MÁSODIK hatványa a száz. Egy logaritmikus skálán tehát két szomszédos érték azt jelenti, hogy ők az alap (pl. a tízes szám) két szomszédos hatványa. Még egyszerűbben: a logaritmikus számegyenesen az egyenlő osztásonként megjelenő 0, 1, 2, 3 számok jelentése: 10 a nulladikon (=1), tíz az elsőn (=10) tíz a másodikon (=100), tíz a harmadikon (=1000), és így tovább. A példaként hozott Richter-skálán a kettes erejű földrengéshez képest a hármas erejű az pont tízszer pusztítóbb. A hármashoz képest a négyes megint tízszer pusztítóbb. Ebből az is kijön, hogy a ketteshez képest a négyes százszor pusztítóbb. Ha nem tudunk logaritmust számolni, akkor csak fogadjuk el, hogy a törteknek ugyanígy van meghatározott szorzóértéke. Bármilyen kiindulási értékhez képest a kétszer akkora kb. 0,3-del kap nagyobb értéket. Egy hármas földrengést megduplázva egy 3,3-as földrengést kapunk. ezt még egyszer megduplázva egy 3,6-os földrengést, és így tovább.
Ezzel már nagyon közel kerültünk a decibel-rejtély megértéséhez, ott csak annyival bonyolultabb ez a dolog, hogy minden ilyen hatványt még meg is szorzunk tízzel, hogy ne legyenek tört értékek, kb. mintha a Richter-skálán a 3,4-es 4,7-es 6-os földrengés helyett azt mondanánk mindig, hogy 34-es, 47-es, 60-as földrengés. Akkor most mennyi is az annyi?
Először is meg kell érteni, hogy az ilyen skáláknál a nulla más értelmet kap. Mivel a nulla érték jelentése 10 a nulladikon, ezért a 0 decibel nem a csöndet jelenti (és egyből értelmet nyer az is, mit jelent az equalizeren a -20 dB.), hanem egy önkényesen kiválasztott viszonyítási alapot, amihez képest bármilyen érték egy szorzószámot jelent. Megint csak, ha nem tudunk logaritmust számolni, egyszerűen fogadjuk el, hogy az eddigiek alapján ez így alakul:
2X zajszint = +3 dB
5X zajszint = +7 dB
10X zajszint = +10 dB
20X zajszint = +13 dB
50X zajszint = +17 dB
100X zajszint = +20 dB
1000X zajszint = +30dB
stb.
sőt:
1/2 zajszint = -3 dB
1/5 zajszint = -7 dB
1/10 zajszint = -10 dB
stb.
Élelmesebbek már kiszúrhatták, hogy a dolog akkor is megbízhatóan stimmel, ha egy szorzást két részletben végzünk el, például az ötvenszeres szorzó 17-es értéke akkor is kijön, ha ötször tízes szorzatként számolom (7+10), de akkor is, ha 2X5X5-ként (7+7+3). Állat, mi?
Mindezek után nyakban kihívott barátunk már maga is képes belátni talán, hogy az 5 dB zajtúllépés körülbelül 3-4-szeres zajszintet jelent, nem 10-nél kevesebb %-ot. Örvendezzünk fennen, s lóbáljunk kotorékebeket demonstratíve.
Tök jó érzés, hogy segíthettem.